ニュートンの3法則の2つ目

\[ m \ddot{\mathbf{x}} = \mathbf{F} \quad …… ① \]

に加えて、次の仮定を入れます。

\[ \mathbf{F} = -\nabla U(\mathbf{x}(t),\, t) \quad …… ② \]

これにより、\(U\) が \(t\) に陽に依存しないとき、すなわち \(\dfrac{\partial U}{\partial t} = 0\) のとき、力学的エネルギーは保存します。

＜証明＞

②式を①式に代入して、速度ベクトル \(\dot{\mathbf{x}}\) を内積でかけます。

\[ m \ddot{\mathbf{x}} \cdot \dot{\mathbf{x}} = - \nabla U(\mathbf{x}(t),\, t) \cdot \dot{\mathbf{x}} \quad …… ③ \]

③式の左辺は、積の微分法則により、

\[ m \ddot{\mathbf{x}} \cdot \dot{\mathbf{x}} = \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2} m |\dot{\mathbf{x}}|^2 \right) \]

ここで、 \[ |\dot{\mathbf{x}}|^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \] です。また、

\[ K = \frac{1}{2} m |\dot{\mathbf{x}}|^2 \]

とおくと、③式の左辺は、

\[ m \ddot{\mathbf{x}} \cdot \dot{\mathbf{x}} = \frac{dK}{dt} \quad …… ④ \]

対して、③式の右辺は、連鎖律により、

\[ \frac{d}{dt} U(\mathbf{x}(t),\, t) = \nabla U(\mathbf{x}(t),\, t) \cdot \dot{\mathbf{x}} + \frac{\partial U}{\partial t} \]

したがって、

\[ - \nabla U(\mathbf{x}(t),\, t) \cdot \dot{\mathbf{x}} = - \frac{d}{dt} U(\mathbf{x}(t),\, t) + \frac{\partial U}{\partial t} = - \frac{dU}{dt} + \frac{\partial U}{\partial t} \quad …… ⑤ \]

よって、③、④、⑤式より、

\[ \frac{d}{dt}(K + U) = \frac{\partial U}{\partial t} \]

\(\dfrac{\partial U}{\partial t} = 0\) のとき、

\[ K + U = C \]

ただし、Cは積分定数である。